阿基里斯悖论

公元前5世纪，芝诺发表态了著名的阿基里斯和乌龟赛跑悖论：

他提出让乌龟在阿基里斯前面 1000米处开始，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍。当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，设所用的时间为t，此时乌龟便领先他100米；当阿基里斯跑完下一个100米时，他所用的时间为t/10,乌龟仍然前于他10米。当阿基里斯跑完下一个10米时，他所用的时间为t/100，乌龟仍然前于他10米……
芝诺解说，阿基里斯能够继续逼近乌龟，但决不可能追上它。

关于阿基里斯悖论的另一个解释是：阿基里斯的确永远也追不上乌龟。因为当阿基里斯遵循乌龟的轨迹的时候，会不由自主的慢下来，以跟随着乌龟的节奏前进。

阿基里斯(Achilles)是希腊神话中善跑的英雄。芝诺讲：阿基里斯在赛跑中不可能追上起步稍微领先于他的乌龟，因为当他要到达乌龟出发的那一点，乌龟又向前爬动了。阿基里斯和乌龟的距离可以无限地缩小，但永远追不上乌龟。
有人用物理语言描述这个问题说，在阿基里斯悖论中使用了两种不同的时间度量。一般度量方法是：假设阿基里斯与乌龟在开始时的距离为S，速度分别为V1和V2。当时间T=S/(V1-V2)时，阿基里斯就赶上了乌龟。
但是芝诺的测量方法不同：阿基里斯将逐次到达乌龟在前一次的出发点，这个时间为T'。对于任何T'，可能无限缩短，但阿基里斯永远在乌龟的后面。关键是这个T'无法度量T=S/(V1-V2)以后的时间。^[1]

其实，我们根据中学所学过的无穷等比递缩数列求和的知识，只需列一个方程就可以轻而易举地推翻芝诺的悖论：阿基里斯在跑了
1000（1+0.1+0.01+…………）=1000 (1+1/9)=10000/9米时便可赶上乌龟。
人们认为数列1+0.1+0.01+…………是永远也不能穷尽的。这只不过是一个错觉。
我们不妨来计算一下阿基里斯能够追上乌龟的时间为 t（1+0.1+0.01+…………）= t (1+1/9)=10t/9
芝诺所说的阿基里斯不可能追上乌龟，就隐藏着时间必须小于10t/9这样一个条件。
由于阿基里斯和乌龟是在不断地运动的，对时间是没有限制的，时间很容易突破10t/9这样一个条件。一旦突破10t/9这样一个条件，阿基里斯就追上了或超过了乌龟。
人们被距离数列1+0.1+0.01+…………好像是永远也不能穷尽的假象迷惑了，没有考虑到时间数列1+0.1+0.01+…………是很容易达到和超过的了。
但是不是所有的数列都能达到，所以，我们看问题不能太极端。例如无论多少个点也不能组成直线，对于点的个数来说，我们就永远无法穷尽它。

悖论是指一种导致矛盾的命题。悖论(paradox)来自希腊语“para+dokein”，意思是“多想一想”。 如果承认它是真的，经过一系列正确的推理，却又得出它是假的；如果承认它是假的，经过一系列正确的推理，却又得出它是真的。(zh.wikipedia.org/wiki/悖论)

把集合分成两类，凡是不以自身作为元素的集合称为正常集，（例如，自然数集N本身不是一个自然数，因此N是正常集。）凡是以自身作为元素的集合称为异常集。（例如，所有的非生物的集合F并非生物，因此F是异常集。）
这样，许多日常中常见的悖论(说谎者悖论，理发师悖论，上帝悖论等)都可以归入异常集之中了。

另外一种悖论是关于无限的，虽然我们现在基本上都能接受极限的理论，但是要把这个理论向那些不懂的人解释还是十分困难的。
比较经典的有：
(古希腊数学家芝诺（Zeno of Elea）的阿基里斯悖论)阿基里斯在赛跑中不可能追上起步稍微领先于他的乌龟，因为当他要到达乌龟出发的那一点，乌龟又向前爬动了。阿基里斯和乌龟的距离可以无限地缩小，但永远追不上乌龟。
(古希腊数学家芝诺（Zeno of Elea）的二分法悖论)当一个物体行进一段距离到达Ｄ，它必须首先到达距离Ｄ的二分之一，然后是四分之一、八分之一、十六分之一、以至可以无穷地划分下去。因此，这个物体永远也到达不了Ｄ。

“１厘米线段内的点与太平洋面上的点一样多”
康托尔（１８４５－１９１８）成功地证明了：一条直线上的点能够和一个平面上的点一一对应，也能和空间中的点一一对应。由于无限，１厘米长的线段内的点，与太平洋面上的点，以及整个地球内部的点都“一样多”。